۰.۱ نمادگان هنگرد-نگریک

۰.۱.۱ این نوشتار گهگاهی نمادگان استانده‌ی هنگرد-نگریک [=نظریه‌ی مجموعه‌ای] را بکار می‌برد (گرچه هرگز در راهی بسیار گوهرین نیست). اینجا یک روشنگری کوتاه‌شده آن [آمده] است.

۰.۱.۲ یک هنگرد، X، گردایه‌ای از برآخت‌ها است. اگر این هنگرد برآخت‌های a₁, ..., aₙ را دربر داشته باشد، شدنی است به دیسه‌ی {a₁, ..., aₙ} نوشته شود. اگر آن هنگردی از برآخت‌هاست که همبایستی را برآورده می‌کند، A(x)، آنگاه شدنی است به دیسه‌ی {x : A(x)} نوشته شود. a∈X می‌چمارد که a یک هموند [=عضو] هنگرد X است، به دیگر سخن، a یکی از برآخت‌های در X است. a∉X می‌چمارد که a یک هموند X نیست.

۰.۱.۳ نمونه‌ها: هنگرد شماره‌های (زاستاری) کمتر از ۵، {۴ ,۳ ,۲ ,۱ ,۰} است. این را F بنامید. هنگرد شماره‌های جفت {x:x یک شماره جفت زاستاری است} است این را E بنامید. آنگاه ۳∈F، و ۵ ∉E.

۰.۱.۴ هنگرد‌ها می‌توانند هر شماری از هموند‌ها داشته باشند. به‌ویژه، برای هر a، هنگردی هست که تنها هموندش a است، نوشته می‌شود {a}. {a} یک تکین نامیده شده است (و با خود a گیج نخواهد شد). همچنین هنگردی هست که هیچ هموند‌ی ندارد، هنگرد تهی؛ که با نماد ∅ نوشته می‌شود.

۰.۱.۵ نمونه‌ها: {۳} هنگردی است که تنها شماره‌ی سه را دربر دارد. آن یک هموند دارد. آن جداسان از ۳ است، که یک شماره است، به هیچ روی یک هنگرد نیست، و از این رو هیچ هموندی ندارد .23∉∅ .

۰.۱.۶ هنگرد X، یک زیرهنگرد هنگرد Y است، اگر و تنها اگر هر هموند X یک هموند Y باشد. این به دیسه‌ی X⊆Y نوشته می‌شود. هنگرد تهی یک زیرهنگرد هر هنگرد (دربردارنده‌ی خودش) است. X⊂Y می‌چمارد که X یک زیرهنگرد سره Y است.

۰.۱.۷ نمونه‌ها: پروانه دهید N هنگرد همه شماره‌های زاستاری باشد، و E هنگرد شماره‌های جفت باشد. آنگاه ∅⊆N و E⊆N. همچنین، E⊂N، از آنجا که 5∈N لیک 5∉E. اگر X⊆N و X≠E آنگاه یا یک شماره‌ی تا [=فرد] در X هست، یا یک شماره جفت X در نیست (یا هر دو).

۰.۱.۸ یکایش دو هنگرد، X، Y، هنگردی است که درست آن چیز‌هایی را دربر دارد که در X یا Y (یا هر دو) هست. این به دیسه‌ی X∪Y نوشته شده است. همچنین a ∈X∪Y اگر و تنها اگر a ∈ X یا a ∈ Y. اندربرش دو هنگرد، X، Y، هنگرد درست آن چیز‌هایی را دربر دارد که در هر دو X و Y هست. آن X∩Y نوشته می‌شود. همچنین a ∈X∩Y اگر و تنها اگر a ∈ X و a ∈ Y. بَوَندگر وابسته یک هنگرد، X، با روی‌داشت به دیگر، Y، هنگرد همه چیز‌هایی است که در Y لیک نه در X هست. آن نوشته می‌شود Y-X. پس، a ∈ Y-X اگر و تنها اگر a ∈ Y لیک a ∉ X.

۰.۱.۹ نمونه‌ها: پروانه دهید N، E و O پی‌آیانه، هنگرد همه‌ی شماره‌ها، همه شماره‌های جفت، و همه‌ی شماره‌های تا باشند. آنگاه E∪O=N، E∩O=∅. پروانه دهید T={x:x≥10}. آنگاه E-T={۰، ۲، ۴، ۶، ۸}

۰.۱.۱۰ یک جفت بارایه، ⟨a، b⟩، یک هنگرد است که هموند‌هایش رخ می‌دهند در رایه نشان دادند، براین‌پایه ما می‌دانیم کدام یکمین است و کدام دومین است. همانندانه برای یک سه‌تایی بارایه، ⟨a، b، c⟩، چهارتایی ⟨a، b، c، d⟩ و هروینانه، n-تایی، ⟨x₁، ...، xₙ⟩. داده شده n هنگرد‌ها X ₁، ...، Xₙ، فرآورده دکارتیشان، X₁×···×Xₙ، هنگرد همه چندتایی است، هموند نخست که در X₁ است، دومین که در X₂ است و دیگر،. پس، ⟨x₁، ...، xₙ⟩∈X₁×···×Xₙ اگر و تنها اگر x₁∈X₁ و ... و xₙ∈Xₙ. یک پیوند، R، میان X₁، ...، Xₙ هر زیرهنگرد X₁×···×Xₙ است.

⟨x₁، ...، xₙ⟩∈R روالانه چون Rx₁...xₙ نوشته می‌شود. اگر n ۳ باشد، پیوند یک پیوند سه‌تایی است. اگر n ۲ باشد، پیوند یک پیوند دوتایی است، و Rx₁x₂ روالانه همچون x₁Rx₂ نوشته می‌شود. یک کریا از X به Y یک پیوند دوتایی است، f، میان X و Y، به‌گونه‌ای که برای همه‌ی x∈X یک y∈Y یکتا هست به‌گونه‌ای که xfy. بیشتر روالانه، در این فتاد، ما می‌نویسیم: f(x)=y.

۰.۱.۱۱ نمونه‌ها :⟨۲،۳⟩≠⟨۳، ۲⟩، از آنجا که این هنگرد‌ها هموند‌های یکسان دارند، لیک در رایه‌ای [=ترتیبی] دگرسان. پروانه دهید N هنگرد شماره‌ها باشد. آنگاه N×N هنگرد همه جفت‌های به دیسه‌ی ⟨n,m⟩ است، آنجا n و m در N اند. اگر R={⟨۲،۳⟩، ⟨۳،۲⟩} آنگاه R⊆N×N و یک پیوند دوتایی میان N و خودش است. اگر f={⟨n،n²⟩ :n∈N}، آنگاه f یک کریا از شماره‌ها به شماره‌ها است، و f(n)=n².

۰.۲ آوین با درهازش

۰.۲.۱ روش آوین با درهازش [=استقراء] (یا بازگشت) روی پیچیدگی سهان‌ها به‌سنگینی در بخش‌های ستاره‌دار نبیگ بکار رفته است. آن همچنین گاهی در جا‌های دیگر بکار رفته است، گرچه رَوالانه [=معمولا] می‌توان بی از دست دادن [چیزی] از روی آن پرید. آنچه این روش به آن می‌رسد این است. بیانگارید که همه‌ی ساده‌ترین دیسول‌های یک زبان دیسه‌ای (به دیگر سخن، آنها که هیچ‌ همبند‌ یا چندی‌گر‌ی را دربر ندارند) یک داراک دارند، P. (پایه‌گذاری این باشا روالانه فتاد پایه نامیده شده است.) و بیانگارید که هر زمان کسی یک سهان پیچیده‌تر بسازد - به دیگر سخن، سهانی با یک همبند افزوده (یا چندی‌گر اگر چنین چیز‌هایی در زبان باشند) – از میان دیسول‌هایی که داراک P را دارند، دیسول دستاورد همچنین داراک P را دارد. (پایه‌گذاری این روالانه فتاد درهازش نامیده می‌شود.) آنگاه آن به دنبال دارد که همه دیسول‌های زبان داراک P را دارند. پس، برای نمونه، بیانگارید که دیسول‌های ساده p و q داراک P را دارد، و اینکه هرگاه دیسول‌ها آن داراک را دارند، همچنین نی‌شدن‌هاشان، همجوهش‌ها، و دیگر دارند. آنگاه آن به دنبال دارد ¬p ، p∧q، ¬p∧ (p∧q)، داراک دارد، همچون همه سهان‌ها که ما توانیم از p و q با بکار بردن نی‌شدن و همجوهش سازیم دارند.

۰.۲.۲ آوین فتاد درهازش هنجارانه به شماری از زیرفتاد‌های دگرسان، یکی برای هر یک از همبند‌ها (و چندی‌گر‌ها اگر پیشاستی داشته باشند) خرد می‌شود در ساختن دیسول‌های پیچیده‌تر بکار گرفته می‌شود. پس، ما می‌انگاریم که A یک دارایی را دارد، سپس نشان می‌دهیم که ¬A آن دارایی را دارد؛ ما می‌انگاریم که A و B دارایی را دارند، سپس نشان می‌دهیم که A∧B آن را دارد؛ و همچنین برای هر همبند (و چندی‌گر). انگاشت، در هر فتاد، انگاره‌ی درهازش نامیده شده است.

۰.۲.۳ اینجا یک نمونه ساده یک آوین با درهازش است. ما نشان می‌دهیم که هر دیسول افماریک گزاره‌ای که دستور زبانی هماهنگ با دستور‌های ۱.۲.۲ یک شمار جفت راست‌کمانک‌ها دارد. (این یک‌خرده همانند شکستن یک جوز با یک پتک است؛ لیک آن روش را به‌روشنی نشان می‌دهد) نماد ■ پایان یک آوین را نشان‌گذاری می‌کند.

آوین:
فتاد پایه: نخست، نیاز داریم به پایه‌ریزی کردن اینکه این دستاورد برای همه ساده‌ترین دیسول‌ها، پراسنجه‌های گزاره‌ای برپا است. همه چنین دیسول‌هایی هیچ (سفر) راست‌کمانک ندارند، و ۰ یک شماره‌ی جفت است. از این رو، دستاورد برای پراسنجه‌های گزاره‌ای برپا است.
فتاد درهازش: سپس ما باید پایه‌ریزی کنیم که اگر دستاورد برای برخی دیسول‌ها برپا باشد، و ما دیسول‌های دیگر بیرون آن را بسازیم، دستاورد برای اینها همچنین برپا باشد. همچنین بیانگارید که A و B یک شماره جفت راست‌کمانک‌ها دارند.

(این انگاره درهازش است) ما نیاز داریم به نشان دادن اینکه همچنین هر یک از ¬A، (A∨B)، (A∧B)، (A⊃B) و (A≡B) یک شماره جفت راست‌کمانک‌ها دارند. یک فتاد برای هر یک از ساخت‌ها در پرسش هست.

برای ¬: شمار راست‌کمانک‌ها در ¬A با شمار راست‌کمانک‌ها در A یکسان است. از آنجا که این جفت است (با انگاره درهازش)، دستاورد پیروی می‌کند. (ما نگرانی انگاره درهازش B را در این فتاد بکار نبردیم، لیک آن مهند نیست.)

برای ∨: بیانگارید که شماره راست‌کمانک‌ها در A است a، و شماره راست‌کمانک‌ها در B b اند. سپس شماره راست‌کمانک‌ها در (A∨B) a+b+2 (از آنجا که ساختن دو راست‌کمانک نو را می‌اندرهازد) اند. لیک a و b بیشا اند، و همچنین a+b+2 جفت است. از این رو، شماره راست‌کمانک‌ها در (A∨B) جفت اند، همچون نیاز داشته.

برای ∧، ⊃، و ≡: چراآوری رزینانه با ∨ یکسان اند. ما اکنون فتاد پایه و فتاد درهازش را پایه‌ریزی کرده‌ ایم. آن از اینها را پیروی می‌کند که دستاورد برای همه دیسول‌ها برپا است؛ به دیگر سخن، همه دیسول‌های دستور زبانی یک شماره جفت راست‌کمانک‌ها دارند. ■

۰.۳ پیوند‌های هم‌ارزی و رده‌های هم‌ارزی

۰.۳.۱ پنداره‌ی یک پیوند هم‌ارزی روی شماری از فتادها بسیار پرکاربرد است، بویژه هنگامی‌که اینهمانی درون بازی می‌آید. یک پیوند هم‌ارزی روی یک دامنه از برآخت‌ها آن است که ،گوهرانه، دامنه را به گردایه‌ای از رده‌های وابندیده (به دیگر سخن، ناهمپوشان) که رده‌های هم‌ارزی خوانده‌شده اند، تکه‌ می‌کند. پس، در یک رده داده شده از مردمان، به نام C،

’x بلندی یکسان با y دارد‘ یک پیوند است که آنها را به رده‌های مردمان با بلندی یکسان بخش می‌کند. بیانگارید که C است:

و در آن a، b، d و e، همه بلندی یکسان دارد، همچنین c، f و i، همچنین g و h. آنگاه رده‌های هم‌ارزی اینها اند:

۰.۳.۲ پرسونانه‌تر، اگر ~ یک پیوند دوتایی روی یک گردایه برآخت‌ها، C باشد، آن یک پیوند هم‌ارزی است تنها اگر آن باشد:
• بازتابی: برای همه x∈C، x∼x
• همامون: برای همه x،y∈C ، اگر x∼y آنگاه y∼x
• تراگذر: برای همه x,y,z ∈ C، اگر x∼y و y∼z آنگاه x∼z
اگر x∈C، رده‌ی هم‌ارزی‌اش، نوشته‌می‌شود [x]، چون {w∈C:w∼x} ویمند شده است.

۰.۳.۳ باشای بنیادی درباره رده‌های هم‌ارزی این است که هر برآخت در دامنه رزینانه در یکی است. برای دیدن این، روی دارید، نخست، که برای هر x∈C، از آنجا که x∼x، x∈[x]؛ همچنین x در یک رده هم‌ارزی است. اکنون پروانه دهید X=[x] و Y=[y]. بیانگارید که، برای یک z، z در هر دو است X و Y. سپس z∼x و z∼y. با همامونی و، x∼y تراگذری. برای هر w∈X، w∼x. از آنجا که x∼y، w∼y. به دیگر سخن، w∈Y. از این رو، X⊆Y. همانندانه، Y⊆X. از این رو، X=Y.

۰.۳.۴ در ساخت‌هایی که رده‌های هم‌ارزی را بکار می‌گیرند، همدار است ویژیدن یک داراک از یک رده با یکی از هموند‌هایش ، پس:
F([x]) اگر و تنها اگر G(x)
اکنون بیانگارید که [x]=[y]. آنگاه ویمند کژرونده خواهد رفت اگر ما توانیم داشته باشیم G(x) لیک نه (y)G. در چنین ویمند آن از این‌رو همیشه مهین است ⟨برای⟩ پایه‌ریزی کردن که اگر x∼y، G(x) اگر و تنها اگر G(y).

۱. گویایی آموزگاهی و همبایستی ماتکی

۱.۱. درآمد

۱.۱.۱. آماج [=هدف] نخست این فَرگَرد [=فصل] بازنگری گویایی گزاره‌ای آموزگاهی [=کلاسیک]، دربردارنده‌ی نمودارهای چِماریک [=معناشناختی] است. این فرگرد همچنین پاره‌ای واژه‌شناسی پایه‌ و پیمان‌های نشانه‌گذاری‌ برای مانده‌ی نبیگ [=کتاب] بر می‌نهد.

۲.۱.۱. در نیمه‌ی دوم این فرگرد همچنین به پنداره‌ی همبایستی [=شرطی] که گویایی گزاره‌ای آموزگاهی پیش می‌نهد و بویژه به برخی کاستی‌هایش می‌نگریم.

۳.۱.۱. آماجِ گویایی روشنگری پنداره‌ی پایمندی [=اعتبار] است: چه [چیزی] به دنبال چه [چیزی] می‌آید. به‌گونه‌ی استانده، پایمندی برای پِی‌بردها [=استنتاج‌های] گفته شده در یک زبان دیسه‌ای [=صوری] ویمند [=تعریف] شده است، یک زبان با واژگان و دستوری خوش‌ویمند [=خوش‌تعریف]، زبان برآختی [=شیئی]. پیوند نماد‌های زبان دیسه‌ای با واژه‌های [زبان] زاستاری [=طبیعی]، در این فِتاد [=مورد] پارسی، همواره یک نهاده [=موضوع] مهند است.

۴.۱.۱. بازگفت‌ها [=روایت‌ها] از پایمندی، خود در زبانی هستند که در بیشتر فِتادها جداسان [=متمایز] از زبان برآختی است. این فرازبان نامیده شده است. در فتاد [=مورد] ما، به‌سادگی، این انگلیسی مزداهیک [=ریاضیاتی] است. روی‌دارید [=توجه‌کنید] که ' iff ' به چِمار [=معنای] 'اگر و تنها اگر' است.

۵.۱.۱. همچنین استانده [=استاندارد] است که دو پنداشت از پایمندی ویمند شود. یکمین [ویمند] چِماریک [=معناشناختی] است. یک پِی‌برد پایمند آن است که راستی [=صدق] را نگه‌می‌دارد ، در چِمی استیگان [=مطمئن]. بویژه، هر آزند [=تعبیر] (خام سخن بگوییم، راهی برای بربستن [=نسبت‌دادن] ارزش‌های راستی) که همه‌ی پیشگذارده‌ها [=مقدمه‌ها] را راست می‌سازد برآیند [=نتیجه] را راست سازد. ما از نماد فرازبانی '⊨' برای این بهره می‌گیریم. آنچه گویایی‌های گوناگون را جدا می‌سازد پنداشت‌های ناهمسانی از آزند است که آنها بکار می‌گیرند.

۶.۱.۱. دومین پنداشت از پایمندی، نگره‌ی برهانی [=نظریه برهانی] است. پایمندی از دید برخی روال‌های دیسه‌ای ناب ویمند شده‌است (آن چیزی است که، تنها به نماد‌های پِی‌بُرد [=استنتاج] بازبرد [=ارجاع] می‌دهد). ما نماد فرازبانی ⊣ را برای این پنداشت از پایمندی بکار می‌بریم. در فتاد ما، این روش (بیشتر) بکار گرفتن نمودارها خواهد بود. آنچه در اینجا گویایی‌های گوناگون را جدا می‌سازد روال‌های نموداری دِگرسانی [=متفاوتی] است که بکار گرفته می‌شود.

۷.۱.۱. بیشتر گویایی‌دانان هم‌روزگار [=معاصر] پنداشت چماریک از پایمندی را بنیادی‌تر از نگره‌ی برهانی می‌دانند، گرچه این نهاده [=موضوع] بی‌گمان سگالش‌پذیر [=قابل‌بحث] است. با این همه، با یک پنداشت چماریک داده شده از پایمندی، داشتن یک پنداشت نگره‌ی برهانی که با آن همخوانی دارد همواره سودمند است، به این چِمار [=معنا] که دو ویمند همیشه پاسخ‌های یکسانی می‌دهند. اگر هر پِی‌بُرد ِ نگره‌ی برهانی پایمند ْ چماریک پایمند ْ باشد (به‌گونه‌ای که ⊣ در دنبال دارد ⊨ را) به آن نگره‌ی برهان درست گفته می‌شود. اگر هر پِی‌بُرد ِ چماریک پایمند، برهانی پایمند باشد (به‌گونه‌ای که ⊨ در دنبال دارد ⊣ را) به آن نگره‌ی برهان بـَوَندَگ [=تمام] گفته می‌شود.

۲.۱. گفت‌شناسی [=نحو] زبان برآختی

۱.۲.۱. نماد‌های زبان برآختی افماریک [=حساب] گزاره‌ای شمار بی‌پایانی پراسنجه‌های گزاره‌ای^۱: p₀ , p₁ , p₂ , ... ؛ همبندها [=ادات] : ¬ (نایش [=نقض])، ∧ (همجوهش [=عطف])، ∨ (واجوهش [=فصل])، ⊂ (همبایستی ماتکی [=شرطی مادی])، ≡ (هم‌ارزی ماتکی)؛ و نشانه‌های خال‌گذاری [=نقطه‌گذاری]: ( و ) هستند.

۲.۲.۱. همه‌ی دیسول‌های [=فرمول‌های] (خوش دیسیده) زبان، تنها از رشته‌هایی از نماد‌ها که می‌توانند بازگشتی‌وار از پَراسنجه‌های [=پارامترهای] گزاره‌ای با دستور زیر زاده [=تولید] شوند، ساخته می‌شوند:

اگر A و B دیسول باشند، همچنین ¬A, (A∨B), (A∧B), (A⊃B), (A≡B) [دیسول] هستند.

۳.۲.۱. شماری پیمان نشانه‌گذاری مهین را در اینجا روشن خواهم کرد. من از وات‌های [=حروف] رومی بزرگ , , , ... برای نمایش دادن دیسول‌های دلخواه زبان برآختی بهره می‌برم. وات‌های رومی کوچک p، q، r،...، پراسنجه‌های گزاره‌ای دلخواه، لیک جدا را نمایش می‌دهند.

من همیشه کمانک‌های [=پرانتز‌] بیرونی دیسول‌ها را اگر باشند خواهم زدود. براین‌پایه، برای نمونه، (A⊃(B∨¬C)) را بسادگی می‌نویسم A⊃(B∨¬C). وات‌های یونانی بزرگ Σ , Π, ... هنگردی دلخواه از دیسول‌ها را نمایش می‌دهند؛ با این همه، هنگرد تهی به روش استانده، با (وات [=حرف] کوچک) 𝜙 نشان داده شده است. من بیشتر یک هنگرد پایان‌دار {A₁, A₂, . . . , Aₙ} را به سادگی می‌نویسم A₁, A₂, . . . , Aₙ.

۳.۱. پایمندی چماریک

۱.۳.۱ یک آزند زبان یک کریا [=تابع] ν است، که به هر پراسنجه گزاره‌ای هریک از ۱ (راستگو)، یا ۰ (دروغگو) برمی‌بندد. پس، ما چیز‌ها را مانند ν(p)=1 و ν(q)=0 می‌نویسیم.

۲.۳.۱ با یک آزند زبان داده شده، ν، این به یک کریا گسترش یافته است که به هر دیسول یک ارزش راستی برمی‌بندد، با بند‌های بازگشتی زیر، که بند‌های بازگشتی گفت‌شناسیک را بازمی‌تاباند: ^۲

ν(¬A)=۱ اگر ν(A)=۰ ، وگرنه ۰ .

ν(A∧B)=۱ اگر ν(A)=ν(B)=۱ ، وگرنه ۰ .

ν(A∨B)=۱ اگر ν(A)=۱ یا ν(B)=۱ ، وگرنه ۰ .

ν(A⊃B)=۱ اگر ν(A)=۰ یا ν(B)=۱ ، وگرنه ۰ .

ν(A≡B)=۱ اگر ν(A)=ν(B) ، وگرنه ۰ .

۳.۳.۱ بگذارید Σ هر هنگرد دیسول‌ها (پیشگذارده‌ها) باشد؛ آنگاه A (برآیند) یک پیامد چماریک Σ است (Σ⊨A) اگر و تنها اگر هیچ آزندی نباشد که همه‌ی هموند‌های Σ را راستگو و A را دروغگو سازد، به دیگر سخن، هر آزندی که همه هموند‌های Σ راستگو می‌سازد، A را راستگو سازد. 'Σ⊭A' می‌چمارد که چنین نیست که Σ⊨A.

۱.۳.۴ A یک راستی گویاییک (همانگویی) (⊨A) است اگر و تنها اگر آن یک پیامد چماریک هنگرد تهی پیشگذارده‌ها (φ⊨A) باشد، به دیگر سخن، هر آزندش A را راست می‌سازد .

۱.۴ نمودارها

۱.۴.۱ یک درخت ساختاری است که، هروینانه، همانند این به نگر می‌رسد:

خال‌ها گره‌ نامیده می‌شوند. گره بالا ریشه نامیده می‌شود. گره‌های در پایین نوک‌ نامیده می‌شوند. هر گذر از ریشه به پایین یک دنباله پیکان‌ها تا آنجا که توانید روید یک شاخه نامیده می‌شود. (سپس‌تر ما درخت‌هایی با شاخه‌های بی‌پایان خواهیم داشت، لیک نه هنوز.)

۱.۴.۲ برای آزمودن پایمندی یک پی‌برد، یک نمودار می‌سازیم که با یک شاخه‌ی یکه می‌آغازند که گره‌هایش پیشگذارده‌ها (اگر داشته باشد) و نی‌‌گویی برآیند رخ می‌دهد. ما این را سیاهه‌ی آغازین خواهیم نامید. ما آنگاه دستور‌هایی را بکار می‌بریم که به ما پروانه‌ی گسترش دادن این شاخه را می‌دهند. دستور‌ها برای همبایستی چنانکه در پی می‌آید هستند:

دستور در راست چنانکه در پی می‌آید آزندیده خواهد شد. اگر ما یک دیسول (A⊃B)¬ در یک گره داشته باشیم، آنگاه هر شاخه با دو گره بیشتر گسترش داده است که از این گره گذر می‌کند، یکی برای A و یکی برای B¬. دستور در چپ همانندانه آزندیده شده است: اگر ما یک دیسول A⊃B در یک گره داشته باشیم، آنگاه هر شاخه در نوکش به دو شاخه جدا می‌شود که از این گره گذر می‌کنند؛ یکی یک گره برای A¬ دربر دارد دیگری یک گره برای B. دربر دارد

۱.۴.۳ برای نمونه، برای آزمودن پی‌بردی که پیشگذارده‌هایش A⊃B ، B⊃C اند، و برآیندش A⊃C است، درخت زیر را می‌سازیم:

سه دیسول نخست پیشگذارده‌ها اند و برآیند نی شده است. دو دیسول پسین با بکار بردن دستور برای همبایستیِ نی‌شده برای برآیند نی‌شده فرآوری شده اند؛ تکه نخست روی شاخه فرآوری شده است با بکار بردن دستور برای همبایستی به پیشگذارده نخست تکه‌های پسین فرآوری شده است با بکار بردن دستور همان به پیشگذارده دومین. (’ב ها را نادیده‌ بگیرید: ما به آن در زمانی باز خواهیم گشت.)

۱.۴.۴ همبند‌های دیگر همچنین دستور‌هایی دارند، که چنانکه در پی می‌آید هستند.

درون‌یافتانه، آنچه یک نمودار می‌چمارد زیر است. اگر ما یک دستور برای یک دیسول بکار ببندیم، سپس اگر آن دیسول در یک آزندش راستگو باشد، بسیار دیسول‌ها کمینه یکی از شاخه‌ها در زیر به است که دستور فرآوری می‌کند. (البته، هستی شدنی ا تنها یک چنین شاخه است) این برای یک یادآور پرکاربرد است به یاد داشتن دستور‌ها. آن باید است، گرچه فشار آمد، که رسمی دستور‌ها نابانه دیسه‌ای است.

۱.۴.۵ یک نمودار بَوَندَه است اگر و تنها اگر هر دستوری که تواند بکار بسته شود بکار بسته شده باشد. با بارها و بارها بکار بستن دستور‌ها، همیشه شدنی است یک نمودار بَوَندَه سازیم. در فتاد پیشاست، شاخه‌های یک نمودار بونده همیشه، پایان‌دار۴ اند ولی در نمودارهای برخی فرگرد‌های پسین شدنی است آنها بی‌پایان باشند.

۱.۴.۶ یک شاخه بسته است اگر و تنها اگر دیسول‌هایی به دیسه‌ی A و A¬ در دو گره‌هایش هستی داشته باشند؛ وگرنه باز است. یک شاخه بسته با نوشتن یک × در پایین نشان داده می‌شود. خود یک نمودار بسته است اگر و تنها اگر هر شاخه‌ای بسته شده است؛ وگرنه آن باز است. پس نمودار ۱.۴.۳ بسته است: چپ‌ترین شاخه دربر دارد A و A¬؛ پسین دربر دارد A و A¬ (و C و C¬)؛ پسین B و B¬ دربر دارد؛ راست‌ترین C و C¬ را دربر دارد.

۲. گویایی شونی

۲.۱. درآمد

۱.۱.۲. در این فرگرد، ما به شگرد پایه‌ای - چماریک جهانِ شدنی [=جهان ممکن] - نگاه می‌کنیم؛ گوناگونی‌هایی که ما را در بیشتر فرگرد‌های آینده سرگرم خواهند کرد. (ما به نهاده‌ی همبایستی در فرگرد ۴ باز خواهیم گشت.)

۲.۱.۲. این ما را درون پهنه‌ای به نام گویایی شونی [=منطق موجهات] خواهد برد. این فرگرد با پایه‌ای‌ترین گویایی شونی پیوند دارد، [گویایی] K (پس از کریپکی).

۲.۲ بایستگی و شدنیگی

۱.۲.۲. گویایی شونی خود را به شون‌هایی [=مُدهایی] پیوند می‌دهد که شدنی است چیزها درست/نادرست باشند، بویژه شدنیگی [=امکان]، بایستگی [=ضرورت] و نشدنیگی [=عدم‌امکان] آنها. این پنداره‌ها [=مفهوم‌ها] بسیار گنگ هستند، نهاده‌ای که ما در فرگرد پسین [به آن] باز خواهیم گشت.

۲.۲.۲ چماریک شونی که ما بررسی خواهیم کرد پنداشت یک جهانِ شدنی [=جهان ممکن] را بکار می‌گیرد. ما به آنچه باریک‌بینانه جهان‌های شدنی هستند، در این فرگرد باز خواهیم گشت. برای اکنون، آنچه در پی می‌آید بسنده خواهد بود. همه‌ی ما می‌توانیم بیانگاریم [=تصور کنیم] که شدنی است چیزها جور دیگری باشند. برای نمونه، شما می توانید بیانگارید که چیز‌ها درست همین هستند، جز اینکه شما یک سانتی‌متر بلندتر هستید. آنچه شما اینجا می‌انگارید یک سیتش [=وضعیت] دگرسان یا جهان شدنی است. بی‌گمان، جهان کنونی [=فعلی] هم یک جهان شدنی است، و همچنین بی‌شمار [جهان] دیگر وجود دارند، جایی که شما دو سانتی‌متر بلندتر هستید، سه سانتی‌متر بلندتر [هستید]، جایی که شما رنگ موی دیگری دارید، جایی که شما در کشور دیگری زاده شده بودید، و ... .

۵. گویایی‌های همبایستی

۵.۱. درآمد

۱.۱.۵. در این فرگرد به آنچه 'گویایی‌های همبایستی' نامیده شده‌اند، می‌نگریم. اینها گونه‌ای گویایی شونی هستند جایی که بَستایی [=تعدد] پیوندهای دسترس‌پذیری از گونه‌ای تاشتیگ [=معین] هست.

۵.۱.۲ این گویایی‌ها همچنین ما را با برخی پی‌بردها [=استنتاج‌های] پراسه‌ای‌تر پیونددار با همبایستی آشنا می‌کنند و گفت‌و‌گو می‌کنیم که از آنها چه چیزی بسازیم.

۵.۲ برخی پی‌بردهای دردسرساز

۵.۲.۱ بیایید با پِی‌بردها بیآغازیم. به اندازه بسنده آسان است وارسی کنیم که همه فِتادهای زیر در گویایی آموزگاهی پایمندند:

همچنین وارسی کردن این آسان است که همین راست است اگر '⊂' با ‘⥽’ جایگزین شود. (همه پِی‌بُردها در L درست هستند، و همچنین در همه‌ی سامانه‌های شونی.)

۵.۲.۲ اکنون سه بِگومَگو [=استدلال] همسان با همین دیسه‌ها را در نگر آورید:

(۱) اگر فردا هوا بارانی نباشد ما به کریکت خواهیم رفت. از این رو اگر فردا هوا بارانی نباشد و من امشب در یک دُشامد [=تصادف] خودرو کشته شوم، آنگاه ما به کریکت خواهیم رفت.

(۲) اگر نامزدهای دیگر کنار بکشند، بهروز کار را بدست می‌آورد. اگر بهروز کار را بدست آورد، دیگر نامزدها ناامید خواهند شد. از این رو، اگر نامزدهای دیگر کنار بکشند، ناامید خواهند شد.

(۳) اگر سوار ماشین شویم، در راه خراب نمی‌شود. از این رو، اگر ماشین در راه خراب شود، ما سوار آن نمی‌شویم.

۸. دمداشت زینه‌ی یکم

۸.۱ درآمد

۸.۵. ستاره‌ی روتلی

۸.۵.۱ ما اکنون دو چماریک هم‌ارز برای FDE داریم، یک چماریک‌ پیوندی [=رابطه‌ای] و یک چماریک‌ چند ارزشی.⁵ به چراهایی برای کار در فرگرد‌های پسین، ما باید یک [چماریک] سوم داشته باشیم. این یک چماریک جهان شدنی دو ارزشی است، که با نایش همچون یک آپارگر [=عملگر] دَرتَنشی [=مفهومی] برخورد کند؛ به دیگر سخن، همچون یک آپارگر که همبایست‌های راستی‌اش به بازبرد به جهان‌هایی بجز جهانی که در آن راستی‌اش ارزیابی می‌شود، نیاز دارد.

۸.۵.۲ آبیزیکانه، ما می‌انگاریم که هر جهان w با یک همتا *w می‌آید، جهان ستاره‌اش، به‌گونه‌ای که A¬ در w راستگو است اگر A دروغگو باشد، نه در w، که در *w. اگر w = w* (که شدنی است چنین افتد)، آنگاه این همبایست‌ها درست به همبایست‌های آموزگاهی برای نایش فرو می‌ریزند؛ ولی اگر [چنین] نباشد، فرو نمی‌ریزند. آپارگر ستاره بیشتر با یک گوناگونی وامگیری‌ها [=استعاره‌ها] واوشته می‌شود؛ برای نمونه، گاهی همچون یک آپارگر وارونساز واوشته شود؛ لیک دادن یک آزندِ درون‌یافتانه‌ی خرسندکننده به آن و نقش‌اش در همبایست‌ها راستی برای نایش دشوار است.

۸.۵.۳ دیسه‌ای‌وار، یک آزند روتلی یک ساختار ⟨W, ∗, ν⟩ است که در آن W یک هنگرد از جهان‌ها است، ∗ یک کریا از جهان‌ها به جهان‌ها به‌گونه‌ای که w∗∗ = w, است و ν به هر پراسنجه گزاره‌ای در هر جهان یکی از ارزش 1 یا ارزش 0 گمارد. ν به یک گمارش ارزش‌های راستی برای همه دیسول‌ها گسترش یافته است با این همبایستها:
νw(A ∧ B) = 1 اگر νw(A) = 1 و νw(B) = 1; وگرنه آن 0 است.
νw(A ∨ B) = 1 اگر νw(A) = 1 یا νw(B) = 1; وگرنه آن 0 است .
νw(¬A) = 1 اگر νw∗(A) = 0; وگرنه آن 0 است.

۱۰. گویایی‌های بستگی

۱۰.۱. درآمد

۱۰.۱.۱ در این فرگرد ما به گویایی‌هایی در خانواده‌ی شاهراه گویایی‌های بستگی [=منطق‌های ربط] می‌نگریم. اینها با بکار گرفتن یک پیوند [=رابطه] سه‌تایی برای دیسولش [=صورت‌بندی] همبایستهای راستی [=شرایط صدق] → بدست می‌آیند. در پایه‌ای‌ترین گویایی، هیچ پاوندی [=محدودیتی] در پیوند نیست. گویایی‌های نیرومندتر با افزودن پاوندها به‌دست می‌آیند.

۱۰.۱.۲ همچنین می‌بینیم که چگونه می‌توان این چماریک را با چماریک گویایی همبایستی فرگرد ۵ آمیخت و گزارشی از باهمشماری پنهان [=قیاس مضمر] 'چیزهای دیگر هموگ باشند' داد.

۱۰.۲ گویایی B

۱۰.۲.۱ N₄ و N∗ گویایی‌های بستگی هستند، لیک در همسنجی [=مقایسه] با گویایی‌های بستگی، آنها تا اندازه‌ای نزار [=ضعیف] هستند. بسیاری از هواداران گویایی‌های بستگی اندیشیده‌اند گویایی‌های بستگی فرگرد پیشین بسیار نزار هستند، بر این پایه که درون‌یافتانه [=بطور شهودی] بنیادهای درستی درباره‌ی همبایستی هستند که آنها پایمند نمی‌سازند. یک راه برای جای دادن چنین بنیادهایی در یک چماریک جهانِ شدنی، بهره‌بردن از یک پیوند بر روی جهان‌ها برای دادن همبایستهای راستی [=شرایط صدق] همبایستی [=شرطی‌ها] در جهان‌های ناهنجار است. ناهمسان با پیوند دوتایی گویایی شونی، xRy، این پیوند یک سه‌تایی است، که پیوندی سه‌جایگاهی است، Rxyz.

۱۰.۲.۲ درون‌یافتانه [=بطور شهودی]، پیوند سه‌تایی Rxyz چنین چیزی می‌چمارد: برای همه A و Bها، اگر A→B در x راستگو است، و A در y راستگو است، B در z راستگو است. به اینکه چه سهش فلسفی برای ساخت این هست، سپس‌تر باز خواهیم گشت.

۱۰.۲.۳. این شگرد [=تکنیک] می‌تواند برای هر دو چماریک پیوندی و ∗ به کار برده شود. آن‌گونه که در ۹.۶.۹ و ۹.۶.۱۰ یادآور شدیم، هنگامی که → را به زبان بیفزاییم، این چماریک‌ها از هم جدا می‌شوند. اگرچه چماریک پیوندی پیوند سه‌تایی فرساختانه خوب است، لیک باشای[=واقعیت] تاریخی این است که، گویایی با چماریک پیوند سه‌تایی است که در نوشتارگان [=ادبیات] هست. از این رو، ما تنها به آن می‌نگریم.

۱۰.۲.۴ یک آزند سه‌تایی (∗) ساختاری است ⟨W, N, R, ∗, ν⟩، که در آن W ،N، ∗ و ν مانند چماریک N∗ است (۹.۶.۶) ، و R هر پیوند سه‌تایی روی جهان‌ها. (بنابراین، از نگر فنی، R⊆W×W ×W)

۱۰.۲.۵ بجز یک فتاد، همبایستهای راستی برای همه‌ی همبندها همانند N∗ هستند. بویژه، در جهان‌های هنجار، همبایستهای راستی برای → [این‌ها] هستند:
νw(A→B) = 1 اگر و تنها اگر برای همه x∈W بگونه‌ای که νx(B) = 1 ،νx(A) = 1
فتاد این است که اگر w یک جهان ناهنجار باشد:
νw(A→B) = 1 اگر و تنها اگر برای همه x, y∈W بگونه‌ای که Rwxy، اگر νx(A) = 1 آنگاه νy(B) = 1

۱۰.۲.۶ پایمندی به نگهداشت راستی در همه جهان‌های هنجار ویمند شده است، همانند N∗.

۱۰.۲.۷ گویایی آزانیده[=تولیدشده] از این راه بیشتر B نامیده شده است (برای Basic).^۲ به‌روشنی، B یک زیرگویایی از K∗ است (چون هر آزند K∗ یک آزند B است با W − N = 𝜙). افزون‌ بر این، هر آزند I از B هم‌ارز با یک آزند N∗ است. ما تنها آن آزند از N∗ که با I یکسان است را بر می‌گزینیم، به جز که آن به هر همبایستی در هر جهان ناهنجارمند w، هر ارزشی که آن در [جهان] w در [آزند]I دارد، می‌گمارد. ازاین‌رو، N∗ یک زیرگویایی B است.

۱۰.۲.۸ همبایستهای راستی دوپاره → می‌توانند ساده شوند اگر به R همانند ویمند در جهان‌ها هنجارمند اندیشیده شود به ویژه، اگر w هنجارمند است، R را با اگر زیر نشان دهیم:
x = y اگر و تنها اگر Rwxy

۱۰.۶ پیوند سه‌تایی

۱۰.۶.۱ اکنون بیایید بسوی برخی برونای‌های فلسفی بچرخیم. بویژه، پیوند سه‌تایی چه می‌چمارد، و چرا برای بکار گرفتن آن در استاتیدن همبایستهای راستی یک همبایستی شاید راین‌پذیر باشد؟

۱۰.۶.۲ دادن یک پاسخ خشنود‌کننده به این پرسش دشوار است. بیشترین دسته امیدوار‌کننده پاسخ به‌نگر می‌رسد پیوند را با پنداره‌ی ازدش گره زده باشد. بانگارید، برای نمونه، که ما به یک جهان همچون یک استات ازدش می‌اندیشیم (همچون ما با گویایی درون‌یافت‌باوری در ۶.۳.۶ انجام دادیم).

سپس شدنی است Rxyz را همچون این چمار بخوانیم که z همه ازدش دستیافتنی با یکجا کردن ازدش x و y را در بر دارد. این چم همبایستهای راستی → را می‌سازد. برای اینکه اگر A→B در ازدش x برپا باشد، و A در ازدش y برپا باشد، ما باید تاشتیگانه چشم داریم B برپا بودن در ازدش دست می‌یابند با یکجا کردن x و y. هاگردانه، اگر A→B در ازدش x برپا نباشد، سپس آن تاشتیگانه شدنی به‌نگر می‌رسید که ما شدنی بودن ازدش بی افزایم که A بدان وسیله ازدش که B. از این رو، به‌نگر می‌رسد یک ایستش ازدش ,y , هست، به‌گونه‌ای که A در y برپاست، لیک B در ازدش بدست‌آمده از یکجا کردن x و y برپا نیست.