مانه
در این بخش واژه‌های بیگانه به کار رفته است.
این گزاره را در نگر بگیرید: «این گفته دروغ است». آیا این راست است؟ اگر چنین باشد، این گفته را دروغ می‌کند. ولی اگر دروغ باشد، آنگاه این گفته راست است. این گفته با بازبُرد یکراست به خودش، پارادخشی [=پارادوکس] واگشودناپذیر [=غیرقابل حل] می‌سازد. پس اگر راست نیست و دروغ نیست، چیست؟ شاید این پرسش یک آزمایش اندیشه‌ای نابخردانه به نگر آید. لیک در آغاز سده‌ی بیستم، گویاییدان اتریشی کورت گودل را به نویابشی [=کشفی] رساند که انگارش [=ریاضیات] را برای همیشه دگرگون می‌کرد.
نویابش گودل به کرانمندی‌های استوارش‌های انگارشی [=اثباتهای ریاضی] پیوند داشت. استوارش یک چراآوری گویاییک است که نشان می‌دهد چرا یک گزاره درباره‌ی شماره‌ها راست است. آجرهای سازنده این چراآوری‌ها بُنداشت‌ها [=اصول موضوع] نامیده می‌شوند - گزاره‌های انکارناپذیر درباره‌ی شماره‌های مورد نگر. هر سامانه‌ای که بر پایه انگارش ساخته شده است، از پیچیده‌ترین برهان گرفته تا رایانش‌های [=محاسبات] پایه، از بنداشت‌ها ساخته شده است. و اگر گزاره‌ای درباره‌ی شماره‌ها راست باشد، انگارشدانان باید بتوانند آن را با یک برهان بنداشتی تایید کنند.
از زمان یونان باستان، انگارشدانان از این سامانه برای استوار یا نااستوار کردن داوش‌های [=ادعاهای] انگارش با تاشتیگی [=قطعیت] بونده بهره می‌بردند. لیک زمانی که گودل به میدان آمد، برخی پارادخش‌های گویاییکِ نویافته، این تاشتیگی را می‌هراساند [=تهدید می‌کرد]. انگارشدانان برجسته شورمند بودند استوار کنند که انگارش هیچ پادگویی‌ای [=تناقضی] ندارد. خود گودل چندان دل‌استوار نبود. و بیشا کمتر دل‌استوار بود که انگارش ابزار درخوری برای بررسی این پرسمان باشد.
در حالی که ساختن پارادخش خودبازبُرد با واژه‌ها کم‌و‌بیش آسان است، شماره‌ها همواره درباره‌ی خودشان سخن نمی‌گویند. یک گزاره انگارش به سادگی راست یا دروغ است. ولی گودل مانه‌ای داشت. در آغاز او گزاره‌ها و هم‌ارزی‌ها انگارش را به شماره‌های رمزی دگر دیسید تا یک مانه‌ی پیچیده انگارش را بتوان با یک شماره به گفت آورد. این بدان چم است که گزاره‌های انگارش نوشته شده با آن شماره‌ها نیز چیزی درباره‌ی گزاره‌های رمزگذاری شده انگارش می‌گویند. بدین سان، رمزگذاری به انگارش پروانه داد تا درباره خودش سخن بگوید. با این روش، او توانست بنویسد: "این گزاره را نمی‌توان استوار کرد" بسان یک هم‌ارزی، و نخستین گزاره انگارشیِ خودبازبرد را ساخت.
با این روی، باژگون گزاره‌ی گنگی که دَردَمَنده‌ی [=الهام‌بخش] او بود، گزاره‌های انگارش باید راست یا دروغ باشند. پس کدام است؟ اگر دروغ باشد، به این چم است که گفته استوارشی [=اثباتی] دارد. ولی اگر یک گزاره انگارش استوارش داشته باشد، باید راست باشد. این پادگویی به این چم است که گفته گودل نمی‌تواند دروغ باشد، و از اینرو باید راست باشد که «این گفته استوارش‌پذیر نیست». با این روی، این برایند بیشا شگفت‌انگیزتر است، زیرا به این چم است که اکنون یک هم‌ارزی رویداده [=واقعی] از انگارش داریم که می‌داود [=ادعا می‌کند] آن را نمی‌توان استوار کرد.
این نویابش در دل استواره نابوندگی گودل جای دارد که رده‌ی یکسره تازه‌ای از گزاره‌های انگارش را اندر می‌هازد [=معرفی می‌کند]. در رویکرد گودل، گزاره‌ها همچنان راست یا دروغ اند، لیک گزاره‌های راست می‌توانند در گردایه‌ای از بنداشت‌ها استوارش‌پذیر یا استوارش‌ناپذیر باشند. افزون بر این، گودل چرایی می‌آورد که این گزاره‌هایِ راست استوارش‌ناپذیر در هر سامانه‌ی بنداشتی هستند. این ساختن یک سامانه سراسر بونده با بکارگیری انگارش را نشدنی می‌کند، زیرا همیشه گفته‌های راستی هستند که نمی‌توانیم آنها را استوار کنیم. بیشا اگر این گزاره‌های استوارش‌ناپذیر را با افزودن آنها به عنوان بنداشت‌های نو به یک سامانه انگارشی بزرگ‌تر روشنگری کنید، همان فرآیند گزاره‌هایِ راستِ استوارش‌ناپذیرِ تازه‌ای را اندر می‌هازد. مهند نیست که چه اندازه بنداشت بیافزایید، همیشه گزاره‌های رویداده استوارش‌ناپذیر در سامانه شما هستی خواهند داشت. همیشه در پایان به گودل‌ها می‌رسید!
این نویابش پایه‌های این رشته را به لرزه درآورد و کسانی را که آرزو می‌کردند روزی هر داوش انگارش استوار یا نااستوار شود، در هم شکست. در حالی که بیشتر انگارشدانان این رویدادگی نو را پذیرفتند، برخی درباره آن بسیار گفتمان کردند. برخی دیگر همچنان می‌کوشیدند گودالی در دل رشته‌ی خود را که به تازگی از آن پرده برداشته شده بود، نادیده گیرند. لیک از آنجایی که دشواری‌های آموزگاهی [=کلاسیک] بیشتر استوار شد که استوارش‌ناپذیر هستند، برخی آغاز به نگرانی کردند که بونده شدن کارهای همه‌ی زندگیشان شدنی نخواهد بود. با این روی، استواره گودل به همان اندازه که درهایی را بست، درهایی را باز کرد. آگاهی از گفته‌های استوارش‌ناپذیر رویداده، دَردَمَنده نوآوری‌های کلیدی در رایانه‌های نخستین بود. و امروزه، برخی از انگارشدانان پیشه‌ی خود را به شناسایی گزاره‌های استوارش‌ناپذیر می‌گذرانند. از اینرو در هنگامی که شاید انگارشدانان دل‌استواری خود را از دست داده باشند، با سپاس از گودل آنها می‌توانند ناشناخته‌ها را در دل هر جست‌وجوی راستینگی بپذیرند.
بن‌مایه:
The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem by Marcus du Sautoy
ویمند ۱
𝑇 را یک سامانه‌ی فروهازشی دیسه‌ای که دربردارنده‌ی اندازه‌ی تاشتیگی از شماریک است بگیرید. بیانگارید که گفت‌شناسی 𝑇 کارامد است، به این چم که خوارزمیکی هست که می‌آترمد آیا دنباله‌ای از نمادها یک دیسول دستور زبانی است و خوارزمیکی که می‌آترمد آیا یک دنباله‌ی داده شده از دیسول‌ها یک فروهازش روا در 𝑇 است. بی‌گمان برای اینکه 𝑇 بتواند نخشی در برنامه‌ی هیلبرت بازی کند این همبایست‌ها گوهرین اند. زیر این انگاشته‌ها گودل نشان داد گزاره 𝑮 در زبان 𝑇 هست به‌گونه‌ای که:
۱. اگر 𝑇 سازگار باشد آنگاه 𝑮 استواره‌ای از 𝑇 نیست.
۲. اگر 𝑇 یک دارایی یک خرده نیرومندتر از سازگاری که اُمگا-سازگاری خوانده می‌شود، داشته باشد آنگاه نایش 𝑮 استواره‌ای از 𝑇 نیست.